已知圆C满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，圆C与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
2
3
【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．
【答案】（Ⅰ）（x-1）2+y2=4；
（Ⅱ）不存在，理由如下：
当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立
，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴Δ=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得或．
x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，
假设∥，则-3（x1+x2）=y1+y2，
∴，
解得 ，假设不成立．
∴不存在这样的直线l．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立
y = kx + 3 |
（ x - 1 ） 2 + y 2 = 4 |
∴Δ=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
解得
k
＜
1
-
2
6
3
k
＞
1
+
2
6
3
x1+x2=
-
6
k
-
2
1
+
k
2
2
k
+
6
1
+
k
2
OD
MC
=
（
1
，-
3
）
假设
OD
MC
∴
3
×
6
k
-
2
1
+
k
2
=
2
k
+
6
1
+
k
2
解得
k
=
3
4
∉
（
-
∞
，
1
-
2
6
3
）
∪
（
1
+
2
6
3
，
+
∞
）
∴不存在这样的直线l．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：487引用：21难度：0.3
相似题
-
1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为
．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．23
（1）求圆C的方程；
（2）若点P（-5，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为k1，k2，求证：为定值．k2k1发布：2024/9/10 14:0:9组卷：80引用：2难度：0.5 -
2．已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．则下列命题中正确的有（ ）
发布：2024/11/9 22:30:1组卷：115引用：4难度：0.6 -
3．已知圆C：（x-4）2+（y-2）2=r2截y轴所得的弦长为2
，过点（0，4）且斜率为k的直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=22，则k的值为（ ）2发布：2024/8/31 12:0:8组卷：179引用：5难度：0.7
