阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔•比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是ˆABC的中点，那么从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“补短法”证明CD=AB+BD的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F．使BF=BA，连接MF，MB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC=22，D为ˆAC上一点，连接AD，DC，∠ABD=45°，∠CBD=15°，求△BDC的周长．
ˆ
ABC
2
ˆ
AC
【考点】圆的综合题．
【答案】【定理证明】见解析；
【问题解决】4+2．
【问题解决】4+2
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：323引用：2难度：0.3
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1．如图1，小明在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B，A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC．完成下列任务：
（1）小明得出PC为⊙O的切线的依据是 ；
（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．
①求证：∠PCD=2∠BDC；
②若⊙O的半径为15，BE=6，求PC的长．发布：2025/5/23 20:0:1组卷：348引用：3难度：0.3 -
2．【阅读理解】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=10，BC=CD=10，∠B=90°，点M在边AD上，AM=4，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边AB上，则称点P是线段MN关于四边形ABCD的边AB的“直角点”．3
（1）如图1，点P是线段MN关于四边形ABCD的边AB的“直角点”，当AP=4，直接写出结果：∠BAD=；BN=．
（2）如图2，点N在运动的过程中，线段MN的中点O到BC的距离是否发生变化？若不变，请求出该距离．若变化，请说明理由．
（3）是否存在点N，使线段MN关于四边形ABCD的边AB的“直角点”恰好有两个？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围，若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 21:30:2组卷：109引用：1难度：0.2 -
3．如图，AB为⊙O直径，四边形AODP为矩形，BD交⊙O于点C，连接PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，DO=4，则DC长为 ．发布：2025/5/23 21:0:1组卷：24引用：1难度：0.1
