已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，左右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x-4y+5=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点的直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m（m≠0）代入椭圆x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，，
由，
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韦达定理，可得，
化简可得m=-2k，
则直线的方程为y=kx-2k，y=k（x-2），
故直线l恒过定点（2，0）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y=kx+m（m≠0）代入椭圆x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
由
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
-
1
+
y
2
x
2
-
1
=
k
x
1
+
m
x
1
-
1
+
k
x
2
+
m
x
2
-
1
=
0
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韦达定理，可得
2
k
•
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
-
2
m
+
（
m
-
k
）
（
-
4
km
1
+
2
k
2
）
=
0
化简可得m=-2k，
则直线的方程为y=kx-2k，y=k（x-2），
故直线l恒过定点（2，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/9/12 9:0:8组卷：108引用：5难度：0.5
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