已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点M（4，-22）在双曲线C上，且|MF1|•|MF2|=24．
（1）求△MF1F2的面积；
（2）若OB+OB′=0（O为坐标原点），点N（3，1），记直线NA，NB'的斜率分别为k1，k2，问：k1•k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
M
（
4
，-
2
2
）
OB
+
OB
′
=
0
【考点】双曲线的定点及定值问题．
【答案】（1）△MF1F2的面积为8；
（2）由（1）可得
，解得a2=b2=8，
所以双曲线C的方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则B'（-x2，-y2），则，，
设直线l的方程为y=-3x+m，与双曲线C的方程联立，消去y得：8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，得|m|＞8，
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以，y1-y2=-3（x1-x2），
则，
故k1•k2为定值-1．
2
（2）由（1）可得
16 a 2 - 8 b 2 = 1 |
a 2 + b 2 = 16 |
所以双曲线C的方程为
x
2
8
-
y
2
8
=
1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则B'（-x2，-y2），则
k
1
=
y
1
-
1
x
1
-
3
k
2
=
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
设直线l的方程为y=-3x+m，与双曲线C的方程联立，消去y得：8x2-6mx+m2+8=0，
由Δ=（-6m）2-32（m2+8）＞0，得|m|＞8，
由一元二次方程根与系数的关系得
x
1
+
x
2
=
3
m
4
，
x
1
x
2
=
m
2
+
8
8
所以
y
1
y
2
=
（
-
3
x
1
+
m
）
（
-
3
x
2
+
m
）
=
9
x
1
x
2
-
3
m
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
-
m
2
8
+
9
则
k
1
•
k
2
=
y
1
-
1
x
1
-
3
•
-
y
2
-
1
-
x
2
-
3
=
y
1
y
2
+
y
1
-
y
2
-
1
x
1
x
2
+
3
x
1
-
3
x
2
-
9
=
-
m
2
8
+
8
-
3
（
x
1
-
x
2
）
m
2
8
-
8
+
3
（
x
1
-
x
2
）
=
-
1
故k1•k2为定值-1．
【解答】
【点评】
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