已知双曲线C：x22-y2b2=1（b＞0）一个焦点F到渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（2，0）的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得NA•NB为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
x
2
2
-
y
2
b
2
2
NA
•
NB
【考点】双曲线的定点及定值问题．
【答案】（1）x2-y2=2；
（2）存在，依题意，直线l的斜率不为0，
则设直线l的方程为x=my+2，-1＜m＜1，
联立
，消去x可得（m2-1）y2+4my+2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
则，，
∴，
=，
若要上式为定值，则必须有4t-6=-2，即t=1，
，
故存在点N（1，0）满足．
（2）存在，依题意，直线l的斜率不为0，
则设直线l的方程为x=my+2，-1＜m＜1，
联立
x = my + 2 |
x 2 - y 2 = 2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
则
y
1
+
y
2
=
-
4
m
m
2
-
1
y
1
y
2
=
2
m
2
-
1
∴
NA
•
NB
=
（
x
1
-
t
）
（
x
2
-
t
）
+
y
1
y
2
=
（
m
y
1
+
2
-
t
）
（
m
y
2
+
2
-
t
）
+
y
1
y
2
（
m
2
+
1
）
y
1
y
2
+
m
（
2
-
t
）
（
y
1
+
y
2
）
+
（
2
-
t
）
2
=
（
m
2
+
1
）
2
m
2
-
1
-
m
（
2
-
t
）
4
m
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
若要上式为定值，则必须有4t-6=-2，即t=1，
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
-
2
+
1
=
-
1
故存在点N（1，0）满足
NA
•
NB
=
-
1
【解答】
【点评】
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发布：2024/8/15 2:0:1组卷：125引用：4难度：0.5
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