已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率是53，点A（-2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
C
：
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
5
3
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）椭圆方程为；
（2）证明：易知直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ的方程为y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立
，消去y并整理得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16（k2+3k）=0，
此时Δ=64k2（2k+3）2-64（4k2+9）（k2+3k）=-1728k＞0，
解得k＜0，
由韦达定理得，，
因为A（-2，0），
此时直线，
令x=0，
解得，
即，
同理得，
此时=
=
=
==3，
故线段MN的中点为定点，定点为（0，3）．
y
2
9
+
x
2
4
=
1
（2）证明：易知直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ的方程为y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立
y = k （ x + 2 ） + 3 |
y 2 9 + x 2 4 = 1 |
此时Δ=64k2（2k+3）2-64（4k2+9）（k2+3k）=-1728k＞0，
解得k＜0，
由韦达定理得
x
1
+
x
2
=
-
8
k
（
2
k
+
3
）
4
k
2
+
9
x
1
x
2
=
16
（
k
2
+
3
k
）
4
k
2
+
9
因为A（-2，0），
此时直线
AP
：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
令x=0，
解得
y
=
2
y
1
x
1
+
2
即
M
（
0
，
2
y
1
x
1
+
2
）
同理得
N
（
0
，
2
y
2
x
2
+
2
）
此时
2
y
1
x
1
+
2
+
2
y
2
x
2
+
2
2
[
k
（
x
1
+
2
）
+
3
]
x
1
+
2
+
[
k
（
x
2
+
2
）
+
3
]
x
2
+
2
=
[
k
x
1
+
（
2
k
+
3
）
]
（
x
2
+
2
）
+
[
k
x
2
+
（
2
k
+
3
）
]
（
x
1
+
2
）
（
x
1
+
2
）
（
x
2
+
2
）
=
2
k
x
1
x
2
+
（
4
k
+
3
）
（
x
1
+
x
2
）
+
4
（
2
k
+
3
）
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
=
32
k
（
k
2
+
3
k
）
4
k
2
+
9
-
8
k
（
4
k
+
3
）
（
2
k
+
3
）
4
k
2
+
9
+
4
（
2
k
+
3
）
16
（
k
2
+
3
k
）
4
k
2
+
9
-
16
k
（
2
k
+
3
）
4
k
2
+
9
+
4
故线段MN的中点为定点，定点为（0，3）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/7 0:0:1组卷：1604引用：22难度：0.6
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