已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），渐近线与抛物线C2：y2=2px（p＞0）交于点（1，22）．
（1）求C1，C2的方程；
（2）设A是C1与C2在第一象限的公共点，作直线l与C1的两支分别交于点M，N，使得AM⊥AN．
（i）求证：直线MN过定点；
（ii）过A作AD⊥MN于D．是否存在定点P，使得|DP|为定值？如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
3
（
1
，
2
2
）
【考点】双曲线的定点及定值问题．
【答案】（1）双曲线C1：；抛物线C2：；
（2）（i）直线MN恒过定点B（6，-3），证明见解析；
（ii）存在定点P（4，-1），使得|DP|为定值．
x
2
2
-
y
2
=
1
y
2
=
1
2
x
（2）（i）直线MN恒过定点B（6，-3），证明见解析；
（ii）存在定点P（4，-1），使得|DP|为定值．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：729引用：7难度：0.6
相似题
-
1．已知双曲线C：
=1（b＞0）一个焦点F到渐近线的距离为x22-y2b2．2
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（2，0）的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．NA•NB发布：2024/8/15 2:0:1组卷：125引用：4难度：0.5 -
2．已知双曲线
过点x2a2-y2b2=1和点（3，52）．（4，15）
（1）求双曲线的离心率；
（2）过M（0，1）的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．|MP|•|MQ||AB|发布：2024/9/24 8:0:9组卷：305引用：10难度：0.3 -
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）在双曲线C上，且|MF1|•|MF2|=24．M（4，-22）
（1）求△MF1F2的面积；
（2）若（O为坐标原点），点N（3，1），记直线NA，NB'的斜率分别为k1，k2，问：k1•k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．OB+OB′=0发布：2024/9/15 3:0:8组卷：365引用：4难度：0.4
