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511．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱A₁B₁的中点，M，N分别是底面ABCD与侧面CDD₁C₁的中心，P为该正方体表面上的一个动点，且满足PM⊥BE，记点P的轨迹所在的平面为α，则过N，C，B₁，C₁四点的球面被平面α截得的圆的周长是（　　）
A．
4
3
π
B．
6
5
5
π
C．
8
3
π
D．
4
5
3
π
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：156引用：6难度：0.4
解析
512．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为
3
2
，面积为8π，则椭圆C的方程为（　　）
A．
x
2
4
+
y
2
=
1
B．
x
2
16
+
y
2
4
=
1
C．
x
2
16
+
y
2
12
=
1
D．
x
2
4
+
y
2
16
=
1
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：229引用：7难度：0.5
解析
513．已知在（
x
-
2
3
x
）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+
9
c
2
n
+
81
c
3
n
+…+9^n-1
c
n
n
的值．
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：279引用：10难度：0.5
解析
514．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
+
x
n
n
!
+
⋯
；
sinx
=
x
-
x
3
3
!
+
x
5
5
!
-
x
7
7
!
+
⋯
+
（
-
1
）
n
+
1
x
2
n
-
1
（
2
n
-
1
）
!
+
⋯
，由此可以判断下列各式正确的是（　　）
A．e^ix=cosx+isinx（i是虚数单位）
B．e^ix=-i（i是虚数单位）
C．
2
x
≥
1
+
xln
2
+
（
xln
2
）
2
2
（
x
≥
0
）
D．
cosx
≤
1
-
x
2
2
+
x
4
24
（
x
∈
（
0
，
1
）
）
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：424引用：5难度：0.3
解析
515．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
ωx
-
π
4
）
在区间
[
0
，
3
π
2
]
上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移
π
4
个单位得到函数g（x）的图象，求函数
F
（
x
）
=
g
（
x
）
f
（
x
）
的单调区间．
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：206引用：4难度：0.6
解析
516．已知函数f（x）=x（lnx-a），a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，求证：f（x）≤xe^x-1在（0，+∞）上恒成立．
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：58引用：4难度：0.5
解析
517．已知随机变量X的分布列为P（X=i）=
i
a
（i=1，2，3，4），则P（2≤x＜4）=（　　）
A．
1
2
B．
3
5
C．
7
10
D．
9
10
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：359引用：5难度：0.9
解析
518．不等式x²-x-2＜0的解集为（　　）
A．{x|-2＜x＜1} B．{x|-1＜x＜2} C．{x|x＜-2或x＞1} D．{x|x＜-1或x＞2}
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：550引用：9难度：0.9
解析
519．已知复数z-2
z
=1+3i,其中i是虚数单位，则z=（　　）
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
发布：2024/12/29 12:0:2组卷：112引用：5难度：0.8
解析

520．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是（　　）

A．在第9条斜线上，各数之和为55

B．在第n（n≥5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C．在第n条斜线上，共有

（

）

个数

D．在第11条斜线上，最大的数是

发布：2024/12/29 12:0:2组卷：192引用：4难度：0.5

解析

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A． x 2 4 + y 2 = 1	B． x 2 16 + y 2 4 = 1
C． x 2 16 + y 2 12 = 1	D． x 2 4 + y 2 16 = 1

513．已知在（x-23x）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项．（3）求n+9c2n+81c3n+…+9n-1cnn的值．

514．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式ex=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯+xnn!+⋯；sinx=x-x33!+x55!-x77!+⋯+（-1）n+1x2n-1（2n-1）!+⋯，由此可以判断下列各式正确的是（ ）

515．已知函数f（x）=sin（ωx-π4）在区间[0，3π2]上恰有3个零点，其中ω为正整数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向左平移π4个单位得到函数g（x）的图象，求函数F（x）=g（x）f（x）的单调区间．

516．已知函数f（x）=x（lnx-a），a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=-1时，求证：f（x）≤xex-1在（0，+∞）上恒成立．

517．已知随机变量X的分布列为P（X=i）=ia（i=1，2，3，4），则P（2≤x＜4）=（ ）

518．不等式x2-x-2＜0的解集为（ ）

519．已知复数z-2z=1+3i,其中i是虚数单位，则z=（ ）

520．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是（ ）

513．已知在（
x
-
2
3
x
）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
（3）求n+
9
c
2
n
+
81
c
3
n
+…+9^n-1
c
n
n
的值．

516．已知函数f（x）=x（lnx-a），a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=-1时，求证：f（x）≤xe^x-1在（0，+∞）上恒成立．

517．已知随机变量X的分布列为P（X=i）=
i
a
（i=1，2，3，4），则P（2≤x＜4）=（　　）

518．不等式x²-x-2＜0的解集为（　　）

519．已知复数z-2
z
=1+3i,其中i是虚数单位，则z=（　　）

520．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是（　　）